מתמטריק
בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 3 – בית העץ: משולשים דומים ומשפט פיתגורס3 יחידות 371 · שיעור 42
בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 3

בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 3 – בית העץ: משולשים דומים ומשפט פיתגורס

פרק 6 – דמיון משולשים
1נוסח השאלה
2סעיף א – למה המשולשים דומים
3סעיף ב (1) – אורך הצלע AB
4סעיף ב (2) – היקף חזית הבית
5סעיף ג (1) – אורך הקטע DG
6סעיף ג (2) – שטח החלון
📄 נוסח השאלה
ירון בנה בית עץ בן שתי קומות, שהחזית שלו בצורת משולש שווה שוקיים ABC (AC = AB). הוא הוסיף בחזית הבית, בין שתי הקומות, קורת תמיכה DE המקבילה לבסיס חזית הבית BC, כמתואר בסרטוט.
א. הסבירו מדוע המשולש ABC דומה למשולש ADE.
סרטוט חזית בית העץ משאלה 3
📄 נוסח השאלה · המשך
נתון כי יחס הדמיון בין המשולש ABC ובין המשולש ADE הוא 2. אורך בסיס חזית הבית BC הוא 8 מטרים, ואורך הצלע AD הוא 5.2 מטרים.
ב. (1) מצאו את אורך הצלע AB.
(2) מצאו את היקף חזית הבית (היקף המשולש ABC).
ירון התקין חלון זכוכית על כל שטח חזית הקומה העליונה. החזית היא בצורת משולש שווה שוקיים ADE (AE = AD). הנקודה G היא אמצע הבסיס DE.
סרטוט חזית בית העץ משאלה 3
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. (1) מצאו את אורך הקטע DG.
(2) מצאו את שטח החלון.
סרטוט חזית בית העץ משאלה 3
סעיף א – למה המשולשים דומים
DE ∥ BC, ולכן הזוויות המתאימות שוות:
∢ADE = ∢ABC , ∢AED = ∢ACB
(זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.) בנוסף, הזווית A משותפת לשני המשולשים.
יש שתי זוויות שוות, ולכן:
📐 משולשים דומים
✅ פתרון סופי: △ABC ∼ △ADE לפי ז.ז
סרטוט חזית בית העץ משאלה 3
📐 משולשים דומים
משפט דמיון ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
סעיף ב (1) – אורך הצלע AB
יחס הדמיון הוא 2: כל צלע במשולש הגדול ABC גדולה פי 2 מהצלע המתאימה במשולש ADE. הצלע AB מתאימה ל־AD:
ABAD = 2
📐 משולשים דומים
נציב AD = 5.2:
AB5.2 = 2
AB = 2 · 5.2 = 10.4
✅ פתרון סופי: AB = 10.4 מטרים
סרטוט חזית בית העץ משאלה 3
📐 משולשים דומים
יחס הדמיון = היחס בין צלעות מתאימות
ABAD = BCDE = ACAE
סעיף ב (2) – היקף חזית הבית
המשולש שווה שוקיים: AC = AB = 10.4.
P = AB + AC + BC
נציב AB = 10.4 , AC = 10.4 , BC = 8:
P = 10.4 + 10.4 + 8 = 28.8
✅ פתרון סופי: 28.8 מטרים
סרטוט חזית בית העץ משאלה 3
סעיף ג (1) – אורך הקטע DG
הבסיס DE מתאים לבסיס BC:
BCDE = 2
📐 משולשים דומים
נציב BC = 8:
8DE = 2
DE = 82 = 4
G אמצע DE:
סרטוט חזית בית העץ משאלה 3
📐 משולשים דומים
יחס הדמיון = היחס בין צלעות מתאימות
ABAD = BCDE = ACAE
סעיף ג (1) – אורך הקטע DG · המשך
G אמצע DE:
DG = DE2
נציב DE = 4:
DG = 42 = 2
✅ פתרון סופי: DG = 2 מטרים
סרטוט חזית בית העץ משאלה 3
סעיף ג (2) – שטח החלון
במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם גובה, ולכן AG ⊥ DE.
במשולש AGD הזווית G ישרה ו־AD היתר:
AG2 + DG2 = AD2
📐 משפט פיתגורס
נציב DG = 2 , AD = 5.2:
AG2 + 22 = 5.22
AG2 + 4 = 27.04
סרטוט חזית בית העץ משאלה 3
📐 משפט פיתגורס
c2 = a2 + b2
c – היתר, a , b – הניצבים
סעיף ג (2) – שטח החלון · המשך
AG2 + 4 = 27.04
AG2 = 23.04
AG = √23.04 = 4.8
שטח המשולש ADE:
📐 שטח משולש
S = DE · AG2
נציב DE = 4 , AG = 4.8:
סרטוט חזית בית העץ משאלה 3
📐 שטח משולש
צלע · הגובה לצלע2
סעיף ג (2) – שטח החלון · המשך
נציב DE = 4 , AG = 4.8:
S = 4 · 4.82 = 19.22 = 9.6
✅ פתרון סופי: 9.6 מ"ר
סרטוט חזית בית העץ משאלה 3

📌 סיכום התשובות

סעיף א
דמיון לפי ז.ז
ב (1)
AB = 10.4 מטרים
ב (2)
28.8 מטרים
ג (1)
DG = 2 מטרים
ג (2)
9.6 מ"ר
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא